ESCASSEZ DE HIPERSUPERFÍCIES DO TIPO ESPAÇO, NÃO TOTALMENTE GEODÉSICAS, COMPLETAS E DE CURVATURA MÉDIA CONSTANTE EM UM GRUPO DE LIE COM MÉTRICA LORENTZIANA BI-INVARIANTE

Resumo

Introdução. A geometria riemanniana surgiu da generalização da geometria diferencial ao estudar a geometria de conjuntos não mais contidos em Rk, para algum k, mas que, ainda assim, são localmente identificáveis com algum espaço euclidiano, definindo as variedades diferenciáveis. Dentre essas, estão os chamados Grupos de Lie, variedades que representam o espaço ambiente no projeto em questão. Objetivos. Estudar a geometria de hipersuperfícies de curvatura média constante de grupos de Lie munidos com métrica bi invariante, desde que tais subvariedades sejam do tipo espaço, completas e não totalmente geodésicas. Metodologia. O aluno estudou bibliografias dedicadas às variedades diferenciáveis e à geometria riemanniana, para então concentrar suas atividades na leitura do artigo de pesquisa que originou esse projeto. Ademais, o bolsista se reunia semanalmente com o orientador para esclarecimento dos assuntos envolvidos no trabalho. Resultados. Escassez de hipersuperfícies do tipo espaço, não totalmente geodésicas, completas e de curvatura média constante em um grupo de Lie com métrica lorentiziana bi-invariante. Mais precisamente, se N é um campo normal unitário do tipo tempo e a curvatura de ricci na direção de N for maior ou igual a – H²/n, onde H representa a curvatura média e n+1 a dimensão do grupo lorentzianno, então M deverá ser, sob a hipótese de ser compacta e transversal a um elemento do tipo tempo da álgebra de Lie de G, a classe lateral de um subgrupo de Lie de G, sendo, assim, totalmente geodésica. Por outro lado, descartando a hipótese de compacidade sobre M, mas adicionando o fato da hipersuperfície ser parabólica e ter aplicação de Gauss hiperbólica limitada, obtém-se o mesmo resultado do caso anterior. Conclusão. O projeto em questão possibilitou unir duas prolíficas áreas de pesquisa em geometria diferencial, a de teoria de grupos de Lie e a de geometria das subvariedades. Agradece-se à UFC pelo apoio financeiro.