DERIVADAS E APLICAÇÕES (Encontros Universitários da UFC, 2019)
A derivada de uma função real f definida em um intervalo (a, b) é um dos pilares do Cálculo Diferencial e Integral. Existem diversas interpretações para derivada de uma função f. Geometricamente, a derivada de f em um ponto c no intervalo (a,b) expressa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto (c,f(c)). Mais precisamente, a inclinação da tangente é dada pelo limite das inclinações das retas secantes passando pelos pontos (c,f(c)) e (x,f(x)) quando x tende c. Fisicamente, podemos pensar que se o movimento de um objeto A é descrito por sua função posição s, então é natural definirmos a velocidade instantânea deste objeto em c como a derivada de s em c, ou seja, o limite das velocidades médias de A ao percorre um caminho retilíneo de c a x quando x tende a c. Os principais objetivos deste trabalho são: apresentar (e demonstrar) o teorema do valor médio, também é conhecido como teorema de Lagrange, o qual permite relacionar o comportamento de uma função com suas derivadas, e apresentar o teorema fundamental do cálculo, este estabelece uma relação interessante entre as duas principais operações do Cálculo Diferencial e Integral: diferenciação e integração. Também exibiremos aplicações e ilustrações de tais resultados de modo à realçar a interpretação geométrica, analítica e física de alguns fatos para proporcionar um melhor entendimento dos assuntos estudados.