A FÓRMULA DE EULER-POINCARÉ E A INVARIÂNCIA TOPOLÓGICA DA CARACTERÍSTICA DE EULER

Resumo

Em uma carta ao matemático Christian Goldbach, Euler escreveu a seguinte proposição: Em sólidos delimitados por faces, a soma do número de faces com o número de vértices excede o número de arestas por duas unidades, ou seja V+F=A+2. Contudo a demonstração desenvolvida por Euler não foi satisfatória e por esse motivo Poincaré, à procura de uma segunda demonstração, observou que o número V-A+F, que quando generalizado é chamado de característica de Euler, é um invariante topológico, ou seja, que ele não muda quando há um homeomorfismo(uma bijeção contínua com inversa contínua)entre os poliedros. Logo, dado um conjunto de pontos X, um k-simplexo é o menor conjunto convexo que contém X, uma coleção finita de simplexos é chamada de complexo simplicial Q quando toda face de todo simplexo de Q é também um simplexo de Q e a intersecção de dois simplexos de Q é vazia ou ocorre em uma face comum e sendo a k-cadeira de Q a combinação linear dos k-simplexos de Q, o k-bordo é um homomorfismo de grupos que leva o K-cadeia no (k-1)-cadeira, e assim o k-ésimo grupo de homologia é dado pelo quociente do Núcleo do k-bordo pela imagem do K+1-Bordo, tal que o núcleo é definido como o conjunto dos elementos do domínio que possuem imagem igual a zero. E finalmente, o k-ésimo número de Betti é o número de geradores livres do k-ésimo grupo de homologia de um complexo simplicial e seu rank é dado pelo número de subgrupos cíclicos infinitos que geram o Grupo. Portanto, neste trabalho serão apresentadas definições e resultados importantantes para que seja possível demonstrar que a Característica de Euler de um Poliedro K pode ser dada pela soma alternada dos números de betti de K, fórmula conhecida como Fórmula de Euler-Poincaré, e portanto concluir que a característica de Euler é um invariante Topológico. Agradecemos a CNPQ pelo apoio financeiro na realização desse projeto.